Geometry


ആര്യഭടീയസംഖ്യാക്രമത്തിനു് ഒരുദാഹരണം:

3.75 ഡിഗ്രി മുതല്‍ 3.75 ഡിഗ്രി ഇടവിട്ടു് 90 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള ആംഗിളുകളുടെ സൈന്‍ മൂല്യം ആര്യഭടന്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്.  തൊട്ടു മുന്‍പത്തെ മൂല്യത്തോടു കൂട്ടേണ്ട മൂല്യമാണു ആര്യഭടീയസംഖ്യാക്രമത്തില്‍ നല്‍കിയിട്ടുള്ളതു്.

മഖി, ഭഖി, ഫഖി, ധഖി, ണഖി, ഞഖി
ങഖി, ഹസ്ഝ, സ്കകി, കിഷ്ഗ, ശ്ഘകി, കിഘ്വാ
ഘ്ലകി, കിഗ്ര, ഹക്യ, ധാഹാ,
സ്ത, സ്ഗ, ശ്ഝ, ങ്വ, ല്ക, പ്ത, ഫ, ഛ, കലാര്‍ധജ്യാ

വ്യാസാര്‍ദ്ധം 3438 ആയിട്ടുള്ള ഒരു വൃത്തത്തില്‍ 3.75 ഡിഗ്രി മുതല്‍ 3.75 ഇടവിട്ടൂ് 90 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള ആംഗിളുകള്‍ക്കുള്ള ജ്യാവുകളെ (Rsin – length of opposite side) കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ശ്ലോകമാണിതു്.

ആര്യഭടന്റെ മൂല്യങ്ങളും ആധുനികമൂല്യങ്ങളും താഴെ പട്ടികയായി ചേര്‍ക്കുന്നു:

Angle കൂട്ടേണ്ട മൂല്യം മൂല്യം കൃത്യമൂല്യം സൈന്‍ (ആര്യഭടന്‍) സൈന്‍ (കൃത്യമൂല്യം)
3.75  മഖി 225 225 224.8560 0.0654 0.0654
7.50  ഭഖി 224 449 448.7490 0.1306 0.1305
11.25  ഫഖി 222 671 670.7205 0.1952 0.1951
15.00  ധഖി 219 890 889.8199 0.2589 0.2588
18.75  ണഖി 215 1105 1105.1089 0.3214 0.3214
22.50  ഞഖി 210 1315 1315.6656 0.3825 0.3827
26.25  ങഖി 205 1520 1520.5885 0.4421 0.4423
30.00  ഹസ്ഝ 199 1719 1719.0000 0.5000 0.5000
33.75  സ്കകി 191 1910 1910.0505 0.5556 0.5556
37.50  കിഷ്ഗ 183 2093 2092.9218 0.6088 0.6088
41.25  ശ്ഘകി 174 2267 2266.8309 0.6594 0.6593
45.00  കിഘ്വാ 164 2431 2431.0331 0.7071 0.7071
48.75  ഘ്ലകി 154 2585 2584.8253 0.7519 0.7518
52.50  കിഗ്ര 143 2728 2727.5488 0.7935 0.7934
56.25  ഹക്യ 131 2859 2858.5925 0.8316 0.8315
60.00  ധാഹാ 119 2978 2977.3953 0.8662 0.8660
63.75  സ്ത 106 3084 3083.4485 0.8970 0.8969
67.50  സ്ഗ 93 3177 3176.2978 0.9241 0.9239
71.25  ശ്ഝ 79 3256 3255.5458 0.9471 0.9469
75.00  ങ്വ 65 3321 3320.8530 0.9660 0.9659
78.75  ല്ക 51 3372 3371.9398 0.9808 0.9808
82.50  പ്ത 37 3409 3408.5874 0.9916 0.9914
86.25  ഫ 22 3431 3430.6390 0.9980 0.9979
90.00  ഛ 7 3438 3438.0000 1.0000 1.0000

 

ആദ്യത്തെ മൂന്നു വരിയിലും ഈരണ്ടക്ഷരങ്ങളെക്കൊണ്ടും, അവസാനത്തെ വരിയില്‍ ഓരോ അക്ഷരത്തിനെക്കൊണ്ടുമാണു മൂല്യങ്ങള്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതു്. ഉദാഹരണത്തിനു്, ക = 1, കി = 1 x 100 = 100, ഘ = 4, വ = 60; അതുകൊണ്ടു്, കിഘ്വാ = 100 + 4 + 60 = 164; ഹ = 100, ക = 1, യ = 30; ഹക്യ = 100 + 1 + 30 = 131.

 ആര്യഭടന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ വളരെ കൃത്യമാണു്.  വലിയ വൃത്തങ്ങള്‍ വരച്ചു് ആംഗിളുകള്‍ അളന്നല്ല ഇതു കണ്ടുപിടിച്ചതു്.  അനന്തശ്രേണികള്‍ (infinite series) ഉപയോഗിച്ചു് സൈന്‍ തുടങ്ങിയ മൂല്യങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഭാരതീയര്‍ക്കു് പാശ്ചാത്യരെക്കാള്‍ ഒന്‍പതു നൂറ്റാണ്ടു മുമ്പേ അറിയാമായിരുന്നു.  അതിനെപ്പറ്റി മറ്റൊരു ലേഖനത്തിലെഴുതാം.

Advertisements

(പൈയുടെ മൂല്യം, പൈയുടെ മൂല്യം പരല്‍പ്പേരുപയോഗിച്ചു്‌, ഭൂതസംഖ്യ എന്നീ ലേഖനങ്ങളെയും കാണുക.)

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ക്രി. പി. 12-ാ‍ം നൂറ്റാണ്ടു്‌) ലീലാവതിയില്‍ നിന്നു്‌: 

വ്യാസേ ഭനന്ദാഗ്നിഹതേ വിഭക്തേ
ഖബാണസൂര്യൈഃ പരിധിഃ സസൂക്ഷ്മഃ
ദ്വാവിംശതിഘ്നേ വിഹൃതേऽഥ ശൈലൈഃ
സ്ഥൂലോऽഥവാ സ്യാത്‌ വ്യവഹാരയോഗ്യഃ

വ്യാസത്തെ 3927 (ഭ-നന്ദ-അഗ്നി = 27-9-3) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു്‌ 1250 (ഖ-ബാണ-സൂര്യ = 0-5-12) കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ സൂക്ഷ്മമായും, 22 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു്‌ 7 (ശൈലം) കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ സ്ഥൂലമായും പരിധി ലഭിക്കും. ഭൂതസംഖ്യയുടെ ഉപയോഗം ശ്രദ്ധിക്കുക.

3927/1250 എന്നതു്‌ ആര്യഭടന്റെ 62832/20000 എന്ന ഭിന്നത്തിന്റെ സരളരൂപമാണു്‌. 3.1416 എന്നു ദശാംശരീതിയില്‍.  22/7 (3.142857…) എന്നതു്‌ പൈയ്ക്കു പകരം ഏറ്റവും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഭിന്നവും.

 ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമായ പൈയുടെ വില ഓര്‍ക്കാന്‍ പാശ്ചാത്യര്‍ പല വേലകളും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു്‌. ഇതിനെക്കാളും മനോഹരവും ഉപയോഗപ്രദവുമായ പല വിദ്യകളും പരല്‍പ്പേര്‍ ഉപയോഗിച്ചു്‌ ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാര്‍ ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ടു്‌. അവയില്‍ ചിലതു ചുവടെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ഇവയ്ക്കു്‌ ഗണിതചരിത്രത്തില്‍ വലിയ പ്രാധാന്യമില്ല. അതാതു കാലത്തു്‌ അറിവുണ്ടായിരുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ പദ്യത്തിലാക്കി എന്നു മാത്രം.

  1. കരണപദ്ധതി (15-ാ‍ം ശതകം):

    അനൂനനൂന്നാനനനുന്നനിത്യൈ-
    സ്സമാഹതാശ്ചക്രകലാവിഭക്താഃ
    ചണ്ഡാംശുചന്ദ്രാധമകുംഭിപാലൈര്‍-
    വ്യാസസ്തദര്‍ദ്ധം ത്രിഭമൌര്‍വിക സ്യാത്‌ 

    അതായതു്‌, അനൂനനൂന്നാനനനുന്നനിത്യം (1000000000000000) വ്യാസമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പരിധി ചണ്ഡാംശുചന്ദ്രാധമകുംഭിപാല (31415926536) ആയിരിക്കും എന്നു്‌. എത്ര മനോഹരമായ വാക്കുകളാണുപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതെന്നു നോക്കൂ.

  2. കടത്തനാട്ടു ശങ്കരവര്‍മ്മ സദ്രത്നമാലയില്‍:

    ഏവം ചാത്ര പരാര്‍ദ്ധവിസ്തൃതിമഹാവൃത്തസ്യ നാഹോക്ഷരൈഃ
    സ്യാദ്ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗിഃ

    അതായതു്,  പരാര്‍ദ്ധം (1017) വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ പരിധി  314159265358979324 (ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗിഃ) ആണെന്നര്‍ത്ഥം.  ഈ പദ്യഭാഗത്തിനു മറ്റൊരു വാച്യാര്‍ത്ഥമുണ്ടെന്നതു മറ്റൊരു കാര്യം.

  3. ഏറ്റവും ഭംഗിയുള്ളതു്‌ അജ്ഞാതകര്‍ത്തൃകമായ ഈ കുഞ്ഞുശ്ലോകമാണു്‌. ഒരു ശ്രീകൃഷ്ണസ്തുതിയായ ഈ ശ്ലോകത്തില്‍ പൈയുടെ വില പതിനാറു അക്കങ്ങള്‍ക്കു ശരിയായി (15 ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു ശരിയായി) ഇടത്തുനിന്നു വലത്തോട്ടു തന്നെ വായിക്കത്തക്കവിധം കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.

    ഗോപീഭാഗ്യമധുവ്രാതശൃംഗീശോദധിസന്ധിഗ
    ഖലജീവിതഖാതാവഗലഹാലാരസന്ധര

    ഇതു്‌ 31415926 53589793 23846264 33832795 എന്ന സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇതിന്റെ അവസാനത്തെ അക്കത്തില്‍ മാത്രം തെറ്റുണ്ടു്‌. ഒരു പക്ഷേ, എന്റെ ഓര്‍മ്മയിലുള്ള ശ്ലോകം തെറ്റായിരിക്കാം.

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമായ “പൈ”യുടെ മൂല്യം ക്രി. പി. അഞ്ചാം ദശകത്തില്‍ ആര്യഭടന്‍ നാലു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി കണ്ടെത്തി.

ചതുരധികം ശതമഷ്ടഗുണം ദ്വാഷഷ്ടിസ്തഥാ ചതുര്‍ത്ഥാണാം
അയുതദ്വയവിഷ്കംഭസ്യാസന്നോ വൃത്തപരിണാഹഃ

                                                     (ആര്യഭടീയം)

ഇതനുസരിച്ചു്‌, 20000 വ്യാസമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പരിധി 104 x 8 + 62000 = 62832 ആണു്‌. അതായതു്‌, പൈ = 3.1416. ഇതു നാലു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു ശരിയാണു്‌.

ലോകത്തില്‍ ആദ്യമായി പൈയുടെ മൂല്യം നാലു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി കണ്ടുപിടിച്ചതു്‌ ആര്യഭടനാണു്‌ എന്നൊരു തെറ്റായ ധാരണയുണ്ടു്‌. ക്രി. മു. മൂന്നാം ശതകത്തില്‍ ആര്‍ക്കിമിഡീസ്‌ പൈയുടെ മൂല്യം 211875/67441 = 3.14163… ആണെന്നു കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു. ക്രി. പി. രണ്ടാം ശതകത്തില്‍ ടോളമി 377/120 = 3.141666… എന്നും. ഇവയ്ക്കു രണ്ടിനെക്കാളും പൈയുടെ മൂല്യത്തോടു്‌ (3.1415926…) അടുത്തു നില്‍ക്കുന്നതു്‌ ആര്യഭടന്റെ മൂല്യമാണെന്നതു മറ്റൊരു കാര്യം. ആര്യഭടനു മുമ്പേ ചീനക്കാരനായ സു ചൊങ്ങ്ഴി (Zu Chongzhi) ഇതിനെക്കാള്‍ കൃത്യമായി (3.1415926-നും 3.1415927-നും ഇടയ്ക്കാണെന്നു്‌) കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ടെന്നും തെളിഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്‌.