ഭാസ്കരാചാര്യരും Quadratic equations-ഉം

കഴിഞ്ഞ രണ്ടു ലേഖനങ്ങളില്‍ കൊടുത്തിരുന്ന പ്രശ്നങ്ങള്‍
(“അര്‍ജ്ജുനന്റെ അമ്പുകളും“, “അരയന്നങ്ങളും“) quadratic equations
ഉണ്ടാക്കി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ ഏതു സ്കൂള്‍കുട്ടിക്കും കഴിയും. കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട മൂല്യം (അമ്പുകളുടെ എണ്ണമോ, അരയന്നങ്ങളുടെ എണ്ണമോ) x² എന്നു സങ്കല്‍പ്പിച്ചാല്‍ ആദ്യത്തേതില്‍ നിന്നു്‌ x² – 8x + 20 = 0 എന്നും 2x² – 7x – 4 = 0 എന്നുമുള്ള സമവാക്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കി ഇവിടെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാല്‍ 10 എന്നും 4 എന്നുമുള്ള ഉത്തരങ്ങള്‍ കിട്ടും. (-2 എന്നും (-1/2) എന്നും രണ്ടുത്തരങ്ങള്‍ കൂടിയുണ്ടു്‌. അതിവിടെ പ്രസക്തമല്ലാത്തതുകൊണ്ടു്‌ ഉപേക്ഷിച്ചു.) അപ്പോള്‍ 100 അമ്പുകള്‍, 16 അരയന്നങ്ങള്‍.

ഇനി, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ സൂത്രവാക്യം നോക്കാം.

ഗുണഘ്നമൂലോനയുതസ്യ രാശേര്‍-
ദൃഷ്ടസ്യ യുക്തസ്യ ഗുണാര്‍ദ്ധകൃത്യാ
മൂലം ഗുണാര്‍ദ്ധേന യുതം വിഹീനം
വര്‍ഗ്ഗീകൃതം പ്രഷ്ടുരഭീഷ്ടരാശിഃ

അറിയേണ്ട രാശി(variable)യോടു്‌, രാശിയുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തെ ഗുണം എന്ന സംഖ്യകൊണ്ടു്‌ ഗുണിച്ചതു കൂടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്ത ഫലം തന്നിട്ടുണ്ടെങ്കില്‍, ആ ഫലത്തിനോടു്‌ ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കൂട്ടിക്കിട്ടുന്നതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയോടു യഥാക്രമം കുറയ്ക്കുകയോ കൂട്ടുകയോ ചെയ്താല്‍ കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട രാശി കിട്ടും.

അതായതു്‌, x – a √x = b എന്നതില്‍ നിന്നു്‌ y = √(b + (a/2)²), x = (a/2 + y)².
x + a √x = b എന്നാണു സമവാക്യമെങ്കില്‍ x = (a/2 – y)².

ഉദാഹരണമായി,

1. അമ്പുകളുടെ പ്രശ്നത്തില്‍, ഗുണം = 4 x 2 = 8, ഫലം = (6 + 3 + 1) x 2 = 20. ഗുണത്തിന്റെ പകുതി = 4, അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം = 16, ഫലത്തോടു കൂട്ടിയാല്‍ 20 + 16 = 36. വര്‍ഗ്ഗമൂലം = 6, ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയൊടു കൂട്ടിയാല്‍ 4 + 6 = 10, വര്‍ഗ്ഗം 100. ഉത്തരം: 100 അമ്പുകള്‍.
2. അരയന്നങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തില്‍, ഗുണം = (7/2), ഫലം = 2, ഗുണത്തിന്റെ പകുതി = (7/4), വര്‍ഗം = (49/16), ഫലം കൂട്ടിയാല്‍ 2 + (49/16) = (81/16), വര്‍ഗ്ഗമൂലം (9/4), ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയോടു കൂട്ടിയാല്‍ (7/4) + (9/4) = (16/4) = 4, വര്‍ഗ്ഗം = 16. ഉത്തരം: 16 അരയന്നങ്ങള്‍.

ഇങ്ങനെ സാമാന്യനിയമം പറയുന്നതുകൂടാതെ, Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കേണ്ട മറ്റു പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഈ സൂത്രം ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചു തന്നെ നിയമങ്ങള്‍ അദ്ദേഹം നല്‍കിയിട്ടിട്ടുണ്ടു്‌. ഉദാഹരണത്തിനു്‌, ഒരു സമാന്തരശ്രേഢി (Arithmetic Progression)യിലെ ആദ്യപദവും (മുഖം, a), പൊതുവ്യത്യാസവും (ചയം, d), ആദ്യത്തെ n (ഗച്ഛം) പദങ്ങളുടെ തുകയും (ഫലം, S) തന്നാല്‍ n കണ്ടുപിടിക്കാന്‍

S = (n/2) (2a + (n-1) d)

എന്ന Quadratic equation n-നു വേണ്ടി നിര്‍ദ്ധരിക്കേണ്ടി വരും.
ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതി നോക്കൂ:

ശ്രേഢീഫലാദുത്തരലോചനഘ്നാ-
ച്ചയാര്‍ദ്ധവക്ത്രാന്തരവര്‍ഗ്ഗയുക്താത്‌
മൂലം മുഖോനം ചയഖണ്ഡയുക്തം
ചയോദ്ധൃതം ഗച്ഛമുദാഹരന്തി 

ശ്രേഢീഫലത്തെ (S) ചയത്തിന്റെ (d) ഇരട്ടി കൊണ്ടു (ലോചനം = കണ്ണു്‌ = 2 (ഭൂതസംഖ്യ)) ഗുണിച്ചിട്ടൂ്‌, ചയത്തിന്റെ പകുതിയില്‍ നിന്നു മുഖം (a) കുറച്ചതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം കൂട്ടിയതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം മുഖത്തില്‍(a) നിന്നു കുറച്ചു്‌ ചയത്തിന്റെ (d) പകുതി കൂട്ടി ചയം (d) കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഗച്ഛം (n) കിട്ടും.

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ഉദാഹരണം നോക്കുക:

ദ്രമ്മത്രയം യഃ പ്രഥമേഹ്നി ദത്വാ
ദാതും പ്രവൃത്തോ ദ്വിചയേന തേന
ശതത്രയം ഷഷ്ട്യധികം ദ്വിജേഭ്യോ
ദത്തം ക്രിയദ്ഭിര്‍ദിവസൈര്‍വദാശു 

ഒരു രാജാവു്‌ ആദ്യത്തെ ദിവസം മൂന്നു നാണയം ബ്രാഹ്മണര്‍ക്കു ദാനം ചെയ്തു. പിന്നീടു്‌ ഓരോ ദിവസവും രണ്ടു നാണയം വീതം കൂട്ടിക്കൊടുത്തു. എത്ര ദിവസം കൊണ്ടു്‌ 360 നാണയം കൊടുത്തു എന്നു കണ്ടുപിടിക്കുക.

ഇവിടെ ഫലം = 360, മുഖം = 3, ചയം = 2.

ചയത്തിന്റെ ഇരട്ടി = 2 x 2 = 4, അതുകൊണ്ടു ഫലത്തെ ഗുണിച്ചാല്‍ 360 x 4 = 1440, ചയത്തിന്റെ പകുതി = 1, അതു മുഖത്തില്‍ നിന്നു കുറച്ചാല്‍ 3 – 1 = 2, അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം = 4, അതു കൂട്ടിയാല്‍ 1444. വര്‍ഗ്ഗമൂലം 38. മുഖം കുറച്ചാല്‍ 38 – 3 = 35, ചയത്തിന്റെ പകുതി കൂട്ടിയാല്‍ 35 + 1 = 16, ചയം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 36 / 2 = 18. ഗച്ഛം (n) = 18.

ഈ രീതി സൂക്ഷിച്ചുനോക്കിയാല്‍ 360 = (n/2) x (2 x 3 + (n-1) 2) അതായതു്‌ n² + 2n – 360 = 0 എന്ന Quadratic equation-ന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം തന്നെയാണു്‌ ഈ രീതിയെന്നു കാണാം.

ഇംഗ്ലീഷ്‌ വിക്കിപീഡിയയില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ഈ രീതി പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുണ്ടു്‌.